Financial Risk Management Chapter 4：Financial Risk Measurement

1. 主要的金融风险度量：信用风险、市场风险、利率风险、流动性风险、操作风险等。

   • 信用风险度量方法：信用等级度量法、财务分析方法、信用差额度量法、违约概率计算法、期望损失方法、VaR方法、KMV 模型、CreditMetris、CreditRisk+、CPV等。
     • 信用风险主要针对信用衍生品，即信用违约互换、总收益互换、信用联系票据、信用期权、降级期权、信用差衍生证券等。
   • 市场风险度量方法：VaR。
     • 市场风险主要针对套期保值，即远期、期货、互换、期权的应用。
   • 利率风险度量方法：久期计量法、基点价值计量法、凸度计量法、VaR计量法、利率敏感性缺口模型等。
     • 利率风险主要针对利率免疫方法、远期利率协议、利率期货、利率互换等。
   • 流动性风险度量方法：流动性Beta、流动性调整的收益率溢价方法、流动性调整的VaR—LVaR方法、在险流动性（Liquidity at Risk）方法等。
     • 流动性风险主要针对接受、组合投资（如开放式基金的流动性管理）、开发新的流动性衍生品（如大额可转让存单）、管理制度方法等。
   • 操作风险度量方法：CAPM类似模型、基本指标法、标准法、高级计量法、波动率模型、风险概括模型、 统计度量模型、情景分析、压力测试、操作差异分析法，操作清单分析法、在险价值等。
     • 操作风险主要可以分为外部控制法（监管机构制定规则、法规对企业操作风险进行管理）和内部控制法（内部规章、程式化管理及问责制度等）。

2. 收益的计量：绝对收益（\(P-P_0\)），相对收益，百分比收益率（\(\frac{P-P_0}{P_0}\)），年百分比收益率（\(\frac{P-P_0}{P_0\*T}\)，其中T代表资金使用的时间，换算成以年为单位。如一个季度为1/4年，所以如果一个季度的收益率为3％，那么转换为年收益率为12％），资产组合收益率（资产组合的加权平均），对数收益率（\(1+(\frac{r}{n})^n \rightarrow e^r\)）。

3. 风险的量化原理

   1. 不确定性度量方法：概率论 & 数理统计

   2. 预期收益率和方差/标准差（波动率）：

   3. 风险分散原理：随着资产种类增加，资产组合的资产之间的相关性只要不是1（若ρ=1，便没有分散风险的效果），收益率在取加权平均和之后的波动性便小于单一的种类波动性之和。（《投资学》 Chapter 7-8）

      • Example：10亿元贷款，贷给多少家公司？假设需要贷款的公司很多，每家违约概率都是1%，彼此不相关，违约后回收率=0。 则 \[ E(X)=\frac{10}{n}*p*n=100.01=0.1\\D(X)=(\frac{10}{n})^2*p*(1-p)*n=\frac{0.099}{n}\rightarrow 0 \quad(n\rightarrow \infty) \]
      • 中心极限定理表明,大量独立同分布的随机事件总体上服从正态分布。正态分布在括金融风险管理在内的诸多领域广泛适用，如信用贷款中违约客户的人数、保险业务中理赔数量，当基数足够大时，都可以认为近似服从于正态分布。

   4. 分位数：用于计算VaR

   5. 时间序列数据

   6. 样本估计：数理统计

   7. 假设检验：数理统计、K-S非参数检验等

   8. 时间聚合：跨越样本观察时间段衡量风险，例如将日风险数据转换为月、年数据。

      • 独立回报的聚合：设\[X_{t1},X_{t2},...,X_{tn}\]为随机风险变量X在时期n的样本观测值，满足独立同分布，期望\[E(X_t)=\mu\],方差\[D(X_t)=\sigma^2\]，则在时间间隔\[t=t_1+t_2\]内，有

        \[ E(X_t)=E(X_{t1}+X_{t2})=2\mu \]

        \[ D(X_t)=D(X_{t1}+X_{t2})=2\sigma^2 \]

        推广到一般情形，\[T=\sum_{i=1}^n {X_{ti}}\]，有

        \[ E(X_T)=n\mu \qquad D(X_T)=n\sigma^2 \Rightarrow \sqrt{D(X_T)}=\sqrt{n}\sigma \]

      • 金融风险管理中，若假设资产的收益率在连续时间间隔内相互独立，则资产收益率期望随时间线性增长，波动率随时间的平方根增长。通常以年度为单位衡量各项参数，此时1年=12月=252天（n=12 or 252）

      • 相关收益率的聚合：一阶自回归AR(1)

        

4. 金融风险度量理论：（待完善）

   • Markowitz投资组合理论（均值-方差分析模型）（见《投资学》Chapter 7-8）

5. VaR方法：

   1. VaR：在给定置信度的情况下，资产组合在未来持有期内所遭受的最大可能损失。即：

      \[ Prob\{\Delta P\leq -VaR\}=1-c \qquad P\{L>VaR\}=1-c \]

      其中\(\Delta P=P(t+\Delta t)-P(t)\)表示组合在未来持有期内\(\Delta t\)内的损失，\(P(t)\)表示组合在当前时刻t的价值（收益率），c为置信度水平，VaR为在置信度水平c下组合的在险价值。

      • 未来一周内（持有期）损失不超过1000万元的概率为95%，则可以表示为

        \[ Prob\{\Delta P\leq-1000\}=0.05 \]

      • 例如：如果说某公司在99%的置信度下10天的VaR是1百万美元，那么也就是说，在未来10天的时间范围内，该公司发生的风险损失超过1百万美元的可能性只有1%。

      • VaR是在某个综合框架下考虑了所有可能的市场风险来源后得到的一个概括性的风险度量值。置信度和持有期给定的情况下，VaR值越大，组合面临的风险就越大 。Basel协议要求：计算交易账户中的市场风险，采用10天有效期、99%的置信度。

      • 在市场处于正常波动的状态下，时间跨度越短，收益率就越接近正态分布，此时假定收益率服从正态分布计算的VaR比较准确、有效。

      • VaR是一种用规范的统计技术来全面综合地衡量风险的方法, 较其它传统风险管理方法能够更加准确地反映金融机构面临的风险状况, 大大增加了风险管理系统的科学性，是当前金融市场风险测度应用最广的方法。

      • VaR在其原理和统计估计方法上存在一定缺陷。VaR是基于金融资产因风险可能造成损失的客观概率进行计算的，单纯依据风险可能造成损失的客观概率,只关注风险的统计特征，并不是系统的风险管理的全部。概率不能反映经济主体本身对于面临风险的意愿或态度，它不能决定经济主体在面临一定量的风险时愿意承受和应该规避的风险的份额。 同时，对于金融市场出现极端情况（极端价格变动）时，VaR无能为力。 VaR没有给出损失的左尾分布的描述。它仅仅说明了这个值发生的概率值，而没有提供任何关于损失分布的左尾信息。

   2. VaR持有期的选择：持有期越长，组合面临的风险越大，从而计算出的VaR值越大。持有期的选择基于：组合收益率分布的确定方式（直接假定收益率服从某一概率分布 or 用组合的历史样本数据来模拟收益率的概率分布）、组合的市场流动性 & 头寸交易频繁程度。

      • 假设资产组合的变化在每天之间互相独立，且服从正态分布，期望值为0，则\(N-day \quad VaR =1-day \quad VaR*\sqrt{n}\)

   3. 置信度的选择和设定：考虑历史数据的可获得性 & 充分性、VaR的用途（比较不停部门或公司所面临的市场风险 or 以VaR为基础确定经济资本需求）、比较分析的方便性。

   4. VaR的计算：若某组合在未来持有期内的损益\(\Delta P\)服从概率密度函数\(f(r)\)的连续分布，则

      \[ 1-c=Prob\{\Delta P\leq -VaR\}=\int_{-\infty}^{-VaR}f(r)dr \]

      常用的计算方法：频数分布、分位数求解（参数分布）

      Example：

      

      • 绝对\(VaR_A\)：以组合的初始值为基点考察持有期内组合的价值变化，即\(\Delta P_A=P-P_0=P_0R\)后代入计算VaR。

      • 相对\(VaR_R\)：以持有期内组合的预期收益为基点考察持有期内组合的价值变化，即\(\Delta P_R=P-E(P)=P_0(R-\mu)\)。相对\(VaR_R\)考虑了资金的时间价值，适用性更强。若时间间隔较短，则二者区别较小。

      • 正态分布下的VaR计算：假定初始价值\(P_0\)，日收益率R服从正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，持有期\(\Delta t=1\)，置信度为c。得：

      \[ VaR_A=P_0*(\Phi^{-1}(c)*\sigma-\mu) \]

      \[ VaR_R=P_0*\Phi^{-1}(c)*\sigma \]

      • • 对于参数估计，\(\hat{\mu_t}\)对历史数据求平均，\(\hat{\sigma_t}\)一般用移动平均法、指数加权法计算。
      • • 对于持有期为\(\Delta t\)的日投资收益率，其服从正态分布\(N(\mu \Delta t,\sigma^2 \Delta t)\)，此时将上述的\(\sigma\)、\(\mu\)替换为当前的\(\mu \Delta t\)与\(\sigma \sqrt{\Delta t}\)即可，故可以对月、年的VaR进行换算。

   5. 回测VaR：检验实际亏损与VaR 是否一致，测试VaR 模型的准确性、有效性。

      • 基本原理：观测实际损失超出VaR 的特例事件次数是否与置信水平c相对应。特例事件次数过多，表明模型低估了风险水平；反之则高估。

      • 回测方法：N次样本观测中，特例事件次数X服从\(B(N,\pi=1-c)\)分布。统计量

        \[ Z=\frac{x-\pi N}{\sqrt{\pi (1-\pi)N}} \]

        拒绝域

        \[ |Z|\geq |z_{\frac{\alpha}{2}}| \]

        Example：设某银行2013年中有15个工作日的日亏损大于置信水平为95%时的每日VaR，按一年252个工作日计算，请说明在5%的显著水平下，银行所用的VaR模型是否存在错误？

        Answer：假设银行VaR 模型正确无误，则在5%的显著水平下，该假设的拒绝域为

        \[ Z=\frac{x-\pi N}{\sqrt{\pi (1-\pi)N}}\geq |z_{\frac{0.05}{2}}|=1.96 \]

        代入x=15,\(\pi=0.05\),N=252得：\(Z=0.69\)，故不能拒绝原假设，即银行所用VaR模型是正确的。

   6. 应用VaR分析投资组合风险：同上公式，结合投资组合下的均值、方差公式计算即可。

      • 设投资组合P由n项资产组成，\(w_i\)、\(r_i\)、\(\mu_i\)和\({\sigma_i}^2\)为第i项资产的比例、预期收益率及其期望和方差，则

        \[ E(R_p)=\mu_p=\sum_{i=1}^n {w_i}E(r_i)=\sum_{i=1}^n {w_i}\mu_i \]

        \[ D(R_p)={\sigma_p}^2=D(w_ir_i,w_jr_j)=\sum_{i=1\\j=1}^n {w_i^2\sigma_i^2}+\sum_{i=1}^n {\sum_{j=1\\i\neq j}^n {w_iw_j\rho_{ij}\sigma_i\sigma_j}} \]

        其中\(\sigma_p^2=w_iw_j\rho_{ij}\sigma_i\sigma_j\)，于是

        \[ VaR_{P,A}=v_0(Z_c\sigma_p-\mu_p) \]

        \[ VaR_{P,R}=v_0Z_c\sigma_p \]

        可以证得（令\(w_i=w_j=\frac{1}{n}\)，\(\sigma_i=\sigma_j=\sigma\)，\(\rho_{ij}=\rho\)），n逐步增大时，\(\sigma_p\)逐步减小，即分散化可以显著降低投资组合的风险。

      • 考虑投资组合VaR与单个VaR：

        \[ VaR_{P,R}=\sqrt{\sum_{i=1}^n {VaR_{R,i}^2}+2\sum_{i=1}^n {\sum_{j=1\\i \neq j}^n {\rho_{ij}*VaR_{R,i}*VaR_{R,j}}}} \]

        • 若\(\rho_{ij}=0\)，则投资组合的VaR等于每项资产VaR平方和的平方根。
          
        • 若\(\rho_{ij}=1\)，即任意两项资产完全相关，则投资组合的VaR等于每项资产VaR的和，此时成为无分散化VaR（其余情况称为分散化VaR）

   7. VaR的拓展：

      • 边际VaR：组合中某项资产增加1单位价值，所引起的投资组合VaR的变化。

        \[ \Delta VaR_i=\frac{\partial VaR_p}{\partial w_iv_0}=z_c*\frac{\partial \sigma_p}{\partial \sigma w_i}=z_c*\frac{Cov(R_i,R_j)}{\sigma_p}\\ \]

        • Beta系数

          \[ \beta=\frac{Cov(R_i,R_p)}{\sigma_p^2}=\frac{\sigma_{ip}}{\sigma_p^2}=\rho_{ip}\frac{\sigma_i}{\sigma_p} \]

          • \[\beta_i\]被称作证券i相对于投资组合P的系统风险，且可以用\[R_i\]对\[R_p\]的回归方程斜率系数来衡量：

          \[ R_{i,t}=\alpha_i+\beta_iR_{p,t}+\epsilon_{i,t}\qquad t=1,...,T \]

          • Beta系数是CAPM模型的基础，资产分布良好的投资者只承受市场的系统风险，即所有资产的风险溢价只取决于\(\beta\)值。

          代入得：

          \[ \Delta VaR_i=VaR_p*\frac{\beta_i}{v_0}\\ \]

          即投资组合整体的边际VaR：

          \[ \Delta VaR_p=\frac{VaR_p}{v_0}*(\beta_1,\beta_2,...,\beta_n)^T\\ \]

          只要计算出投资组合的风险价值，以及各项资产对投资组合的敏感程度，即可求出各项资产的边际VaR值。运用边际VaR可以管理投资组合风险及其VaR，显然当投资组合管理者希望变动投资组合的VaR时，对投资组合头寸变动最少的方式是变动边际VaR最大的资产的初始价值。

          Example：假定投资组合由两种资产组成，组合中两种资产各占50%，资产1相对投资组合的\(\beta\)系数为\(\beta_1\)=1.6，资产2相对投资组合的\(\beta\)系数为\(\beta_2\)=0.4，投资组合的总投资为1亿，组合\(VaR_p\)=5000万元，则资产1的边际VaR为\(\Delta VaR_1=0.5×1.6=0.8\)，同理可得资产2的边际VaR为0.2。 也就是说：当投资组合中的资产1增加或减少1元时，会引起投资组合的VaR增加或减少0.8元；类似的，投资组合中资产2增加或减少1元则只会使得投资组合总体VaR增加或减少0.2元。

        • 边际VaR能被用于多种风险管理目标。投资者想要降低投资组合的VaR时，可以选择所有的头寸均减去一个固定数额，也可以将所有边际VaR数据进行排序，并找出最大\(\Delta VaR\)的资产，对其头寸进行调整。

      • 增量VaR：Increment VaR，由投资组合新头寸引起的VaR变化。

        \[ I-VaR=VaR_{p+a}-VaR_p\\ \]

        其中：

        1. p：构造投资组合所用的初始头寸。
        2. p+a：对原有投资组合构成进行调整后,新投资组合的头寸。其中\(a=(a_1,a_2,...,a_n)^T\)头寸变化既可以是原投资组合内单项资产头寸的变化，也可以是多项资产头寸的综合变化，甚至更为复杂的交易 。

        • I-VaR的符号表明了投资组合风险的变化方向，I-VaR<0意味着风险的降低，反之则意味着风险的增加。如果头寸变化所进行的交易较为复杂，重新计算投资组合的VaR并对交易前后的VaR进行比较以求得I-VaR将是一个非常耗时费力的过程，对于大型投资组合来说尤其如此。

        • 当头寸调整a较小时,通常使用各资产边际VaR与其头寸变化a的乘积之和来表示I-VaR。即：

        \[ I-VaR=\Delta VaR*a=\frac{VaR_p}{v_0}*(\beta_1,\beta_2,...,\beta_n)*(a_1,a_2,...,a_n)^T \]

        其中第i项资产的增量VaR：\(I-VaR_i=\frac{VaR_p}{v_0}*\beta_ia_i\)

        • 增量VaR方法通常用于某项交易包含了一系列新出现的风险因素的情况。投资组合风险最小化是投资组合管理者调整资产组合时的一个重要目标,利用增量VaR，管理者可以找到实现组合风险最小化时的最优化头寸变化量a。
          
        • Example：假定由各占50%的两项资产1和2组成的总投资1亿元的投资组合中，资产1的\(\beta\)系数为1.6，\(\sigma_1\)=4800，而投资组合的方差\(\sigma_p\)=3000，如果想要减少投资组合中资产1的数额，从而使投资组合的风险达到最小，则\(a^*=-1×1.6×0.3^2/0.48^2\)亿元，即应将资产1减少6250万元，也就是说投资组合中应卖空1250万元的资产1。

      • 成分VaR：Component VaR，将剔除投资组合中某一项资产或某一部分资产时，投资组合的VaR的近似变化量。显然有

        \[ VaR_p=\sum_{i=1}^n {C-VaR_i} \]

        • 第i项资产的成分VaR \(C-VaR_i=\Delta VaR_i\*v_0\*w_i\)，其中\(v_0\)为投资组合初始头寸价值；\(w_i\)为资产i在组合中的头寸占比。

          代入\(\Delta VaR\)计算得：\(C-VaR=VaR_i*\rho_{ip}\)，即资产i的成分VaR等于其与投资组合的相关系数和单个VaR的乘积。

          Example：当总投资为10亿元的投资组合由资产a和资产b各占20%和80%，资产a和资产b的β系数分别为1.8和0.6，投资组合的VaR为5000万元。此时，资产a的成分VaR为1800万元(5000×1.8×0.2)，资产b的成分VaR为5000×0.6×0.8=2300(万元)。

          Example： 假如某资产组合的初始投资额为1000万元，其在目标投资期内的预期年收益率为5%，该收益率的年波动率为0.1，假设资产组合的目标投资期为3个月。该组合由A、B、 C三种资产组成，\(w_A\)=0.3，\(w_B\)=0.5，\(w_C\)=0.2，且\(\beta_A\)=1.4，\(\beta_B\)=1.6，\(\beta_C\)=-1.1。请计算A、B、 C三种资产的C-VaR。

   8. 基于历史模拟法的VaR计算：假设资产组合未来收益变化与过去是一致的，因此用收益的历史分布来代替收益的预期分布，以此来求得资产的VaR值。

      • 历史模拟法利用求解次序统计量的方法对资产的VaR损失作出估计。例如在计算c=95%置信水平下的VaR值时，首先需要选择一个观测时间区间，假设考虑采用最近Δt=100天的损失数据来估计VaR，即区间大小为100；按照升序排列本区间内的资产损失，那么第cΔt=95个损失数据即为95%置信水平下的VaR值;如果cΔt不是整数，例如c*Δt =90.5，则可以选择第90和第91个损失数据，并通过线性插值求得VaR值。

      • 标准历史模拟法：将各个风险因子在过去某一时期上的变化分布或变化情景准确刻画出来，作为该风险因子未来的变化分布或变化情景，在此基础上通过建立风险因子与资产组合价值之间的映射表达式模拟出资产组合未来可能的损益分布，进而计算出给定置信度下的VaR。

        • 标准历史模拟法不需要进行参数估计，故是一种非参数全值估计法。

        • 计算步骤：

          

          

          

          

          

      • 标准历史模拟法直观、简单、易于计算，非参数统计的特征也可以减少参数估计风险和模型风险，可以处理非对称、尖峰厚尾等问题、非线性问题。

      • 标准历史模拟法成本较高，受选择区间、时间长度、数据质量等影响，稳健性较差。

   9. 基于Monte-Carlo模拟法进行VaR计算：利用计算机生成的随机数据，建立适当的随机模型模拟风险因子的未来变化路径，利用估值公式计算出对应路径的资产组合价值，不断重复模拟过程，进而求得VaR。

      • 基本原理：反复通过计算机产生随机数生成模拟样本代替实际抽样数据，克服样本数据不足缺陷，得到所求问题符合精度要求的近似解。

      • 单变量资产价格的随机模拟：

        • 选择合适的随机模型对资产价格变化进行描述：一般用几何布朗运动（geometric Brownian motion， GBM）随机模型。采用离散化方法模拟出股票价格未来变化的一条样本轨道或路径。

          

          

          

          

          

          

        • MC方法相比于历史模拟法更加精确可靠，作为完全估值法可以处理非线性、非正态、大幅波动、厚尾问题，而且借助于计算机完成使得其有效性与精确性大大提高。

        • MC方法严重依赖于所选择或建立的随机模型以及估计模型参数的历史数据，存在模型风险和参数估计误差，伪随机数容易出现循环和群聚效应，其收敛速度与\(\frac{1}{\sqrt{n}}\)收敛速度相当，故其收敛速度慢、计算效率低，计算量大。

          

   10. VaR的评价：

       • 作为风险测度工具，VaR度量的是超出置信水平以外的风险事件（即尾部事件）不发生时可能的最大损失。然而，如果尾部事件发生，实际损失将超过VaR，但VaR值并不能告诉我们实际损失将会有多大。同时，由于置信水平的选择，这一损失的规模并不会对VaR的大小产生影响。
       • 因此，具有同样VaR，被认为具有相同风险的不同投资组合实际上可能产生截然不同的风险结果。这就意味着，当投资组合在较小概率下存在巨大损失可能时，仅仅依据VaR进行风险决策可能导致错误判断，使投资者暴露在超额损失的风险之下，可能导致极其严重的不良后果。从这个角度来说，VaR并不是一个最佳的风险测度方式。

6. 一致风险度量下的方法：基于对VaR评价和缺陷修正之上的一致风险测度理论及方法。

   1. 一致风险测度理论：Artzner，1999

      • 一致性风险测度函数\(\rho\)，对于任意价值为\(w_1，w_2\)的投资组合，应该满足：
        • 单调性（Monotonicity）：若\(w_1 \leq w_2\)，则有\(\rho (w_1)\leq \rho (w_2)\)
        • 同质性 / 正齐次性（Positive Homogeneity）：\(\rho (hw)=h\rho (w)， \quad h >0\)
        • 位移不变性 / 平移不变性（Translation Invariance）：\(\rho (w+k)=\rho (w)-k\)，即投资组合增加数量为k的现金，其风险相应减少k。
        • 次可加性（Sub-additivity）：\(\rho (w_1+w_2) \leq \rho (w_1)+\rho (w_2)\)
      • 推广：合理的风险测度方式必须满足的一致性条件：
        • 次可加性：满足了资产组合具有非系统风险分散效应的性质，保证了组合的风险小于或等于构成组合的每个部分风险的和，也就是说，当多个资产组合在一起时，总风险将被分散。
          
        • 单调性：如果一种资产在任何可能出现的情况下都优于另一种资产，那么这种资产的风险就相比较小，这与人们的认知一致。
        • 正齐次性：表明风险和投资规模同比增加。
        • 平移不变性：表明如果风险损失增加一个确定的损失值k，则相应的风险度量也会增加一个相等的确定值；如果k是表示确定的收益，其风险相应减少k。
      • 因此：标准差不满足单调性；VaR不总是满足次可加性（当VaR在椭圆分布假设下满足次可加性，椭圆分布包括正态分布、t分布、广义t分布、Pareto分布等等）。
        • 例如，假设投资组合\(P_1,P_2\)的收益结果都只存在两种可能，分别是在97%的概率下不发生亏损和在3%的概率下亏损1000元。因此，在95%的置信水平下，两个投资组合的\(VaR(P_1)=VaR(P_2)=0\)。此时，假设\(P_1,P_2\)相互独立,则同时持有\(P_1、P_2\)而不发生亏损的概率为97%X97%=94.1%，损失1000元的概率为97%×3%×2=5.8%，损失2000元的概率为3%X3%=0.1%。根据VaR的定义可知，在95%的置信水平下，\(VaR(P_1+P_2)=1000 > VaR(P_1)+VaR(P_2)\)，显然此时VaR不符合次可加性条件。

   2. 预期损失（Expected Shortfall，ES）：Acebi & Tache，2001

   • 预期损失：一定置信水平下，“超过VaR 的风险事件”的损益（收益或损失）X的平均数或期望值。即：置信水平c下的预期损失ESc可以表示为

     \[ ES_c=-E\{X|X\leq -VaR_c(X)\}=E\{X|X\geq VaR_c(X)\} \]

     若损益的分布为离散型，则

     \[ ES_c=\frac{1}{1-c}*\sum_{\alpha =c}^l {X_{\alpha}P_{\alpha}}\\ \]

     其中\(X_{\alpha}\)为置信水平\(\alpha\)下的最大损失，\(P_{\alpha}\)为置信水平\(\alpha\)下取得最大损失的概率。

     若损益分布为连续型，则

     \[ ES_c=\frac{1}{1-c}*\int _c^l {VaR_p}dp \]

   • 与VaR一样，ES随着置信水平的提高而上升。同时，从定义可知，在相同的置信水平下，预期损失ES高于临界损失VaR。

     

     

     

   • 相比于VaR，ES满足次可加性，故基于ES的风险决策管理比基于VaR的风险决策管理在更一般的条件下更可行，同时次可加性使其在投资组合最优化问题中总能得到唯一的最优解，这是使用VaR无法保证实现的。