Financial Derivatives Chapter 2：An Introduction to Financial Derivatives

利率 Interest Rate、债券 Bonds

简单收益率，年百分比收益率

$$R_{t} = \frac{P_{t} - P_{t-1}}{P_{t-1}}$$

对数收益率

$$r_{t} = \ln(P_{t}) - \ln(P_{t-1})$$

简单收益率与对数收益率互换

$$1 + R_{t} = e^{r_{t}} \Rightarrow r_t=\ln(1+R_t)$$

连续复利

$$(1+\frac{r}{n})^n \rightarrow e^r,n\rightarrow \infty$$

当复利连续考虑时，最近似于每一天都对银行的存款进行复利结算。

即对数收益率是一项投资对应的连续复利利率。

$$P_{0} e^r=P \Rightarrow r=\ln(\frac{P}{P_0})=\ln(P)-\ln(P_0)$$

连续复合多期收益率即其所包含的连续复合单期收益率之和

The Doubling Rule

利息率

$$r(t,h)=\frac{a(t+h)-a(t)}{a(t)}$$

其中 $a(t)$ 表示 0 时刻一单位货币到 t 时刻的积累值。则年利息率

$$r_h (t)=\frac{a(t+h)-a(t)}{h*a(t)}$$

则定义利息强度 / 利息力

$$\delta (t)=\lim_{h \rightarrow 0^+}\frac{a(t+h)-a(t)}{h*a(t)} = \frac{a'(t)}{a(t)}$$

解上述微分方程可得

$$a(t)=e^{\int_0^t \delta (s) ds}$$

前述中，我们认为有常数利息力，即

$$a(t)=e^{rt},\delta(s)=r \text{为常数} \Rightarrow P_1=P_0e^r$$

由此我们都可以导出其他概念

$$\displaylines{\text{积累因子}r_h=\frac{e^{\int_h^{h+t} \delta(s) ds} -1}{h} \\ \text{贴现因子}v(t)= e^{ - \int_0^t \delta (s) ds}}$$

债券的定价公式

$$P=\sum_{i=1}^n \frac{c_k}{(1+r)^i} + \frac{C}{(1+r)^n}$$

这部分内容详见 固定收益证券分析 ，其中包含如下内容

《Options, Futures and Other Derivatives》

• Chapter 4 Interest Rates
  • 对当前利率的应用、利率的简单计算做介绍
  • 其中对于久期、凸性方面的介绍，建议直接看《Investments》10th Chapter 16，那里讲的相对比较容易理解。又或者说，固定收益证券部分更偏向于 CFA 内容。
• Chapter 7 Swaps
  • 对于第8版与后两版的利率上区别，后期引入隔夜指数互换OIS，详细解释LIBOR逐渐被替换的情况
    • 在第9版中，新加入一章Chapter 9 OIS Discounting, Credit Issues, and Funding costs
    • 文献支持主要有：Sven Klingler, Olav Syrstad, Life after LIBOR, Journal of Financial Economics, Volume 141, Issue 2, 2021, Pages 783-801, ISSN 0304-405X.
• Chapter 28 Interest Rate Derivatives: the Standard Market Models
• Chapter 30 Interest Rate Derivatives: Models of the Short Rate
• Chapter 31 Interest Rate Derivatives: HJM and LMM

FRM《3 Financial Markets and Products》

• Chapter 9 Foreign Exchange Markets 汇率市场的一些概念
• Chapter 16 Properties of Interests 利率的一些概念
• Chapter 17 Corporate Bonds 债券的一些概念

FRM《4 Valuation and Risk Models》主要是利率在债券中的定价，以及利率定价的工具，这部分是利率的重点

• Chapter 9 Pricing Conventions, Discounting, and Arbitrage 债券的一些概念
• Chapter 10 Interest Rates 利率的一些概念
• Chapter 11 Bond Yields and Return Calculations 债券的一些概念
• Chapter 12 Applying Duration, Convexity and DV01 久期、凸性、DV01
• Chapter 13 Modeling Non-Parallel Term Structure Shifts and Hedging

《An Elementary Introduction to Mathematical Finance》

• Chapter 4 Interest Rates and Present Value Analysis 从数学计算角度介绍利率

《数量金融》（Paul Wilmott）

• Chapter 13 固定收益产品和分析：收益率、久期和凸性
• 第三部分 固定收益的建模和衍生品

《Mathematical Models of Financial Derivatives》

• Chapter 7 Interest Rate Models and Bond Pricing
• Chapter 8 Interest Rate Derivatives: Bond Options, LIBOR and Swap Products

《The Mathematics for Finance: Modeling and Hedging》

• Chapter 8 Bond Models and Interest Rate Options
• Chapter 10 Currency Markets and Foreign Exchange Risks

金融衍生品、交易所市场

如下为英文维基百科、Investopedia、MBA智库百科的介绍：

Derivative (finance) 英文维基百科)

Derivatives Investopedia

金融衍生品 MBA智库百科

建议阅读书目：

《数量金融》（Paul Wilmott）

• Chapter 1 产品与市场
• Chapter 2 衍生品

《Options, Futures and Other Derivatives》

• Chapter 1 Introduction

《Mathematical Models of Financial Derivatives》

• Chapter 1 Introduction to Derivative Instruments

《Introduction to the Mathematics of Finance》

• Chapter 1 Financial Markets and Derivatives

FRM《3 Financial Markets and Products》

• Chapter 4 Introduction to Derivatives
• Chapter 5 Exchanges and OTC Markets
• Chapter 6 Central Cleaning

金融衍生品是在未来某一时期以确定的价格买卖确定数量的某一资产的某种形式的合约。该类资产通常称为标的资产，标的物。

金融衍生品分交易所市场 （Exchange Market）和场外市场 （Over-the-counter Market, OTC）。其中，衍生产品交易所诸如：

• 芝加哥期货交易所：CME 集团
  • 芝加哥交易所 CBOT
  • 芝加哥商品交易所 CME
  • 纽约商品交易所 New York Mercantile Exchange
• 芝加哥期权交易所 CBOT

场外市场存在做市商角色。

尽管金融衍生品的品种千差万别，但都可以归结成远期（Forwards）、期权（Options）、期货（Futures）和互换（Swaps）等基础性的衍生品，以及由这四类金融衍生工具组合而成的结构性衍生品。

金融衍生品基本特点:

• 【零和博弈】（即合约交易的双方盈亏完全负相关，并且净损益为零）
• 【高杠杆性】（金融衍生品的交易采用保证金制度(margin)）
• 【表外交易】（许多金融衍生品交易在资产负债表上没有相应科目，因而也被称为“资产负债表外交易(简称表外交易)”）

参与的交易员种类：

• 【套期保值者(hedger) or 对冲者】在一定时期内，根据管理目标，运用金融产品减少现有资产价格面临的风险
• 【投机者 (speculator) 】主动在市场中持有某个头寸，或者预期价格上升，或者预期价格下降，接受风险，希望获得相应收益
• 【套利者 (arbitrageurs) 】利用时间和空间的价格差异，同时进入两个或更多个市场进行交易，以锁定一个无风险利润。

远期 Forward

远期：指交易双方在将来某个确定的时刻按确定的价格购买或出售一定数量的某种资产（金融资产或商品）而签订的合约。远期合约存在于 OTC 市场，主要是金融机构之间或者金融机构与其客户之间。其中：

• 多头、长头寸 (long position)：合约的购买方
• 空头、短头寸 (short position)：合约的出售方
• 交割价格 (delivery price)－远期价格 (forward price)

合约包含：标的资产，名义数量，到期日，交割价格。

远期类产品定价

无红利收益资产远期的定价

对于无收益资产而言，远期价格等于其标的资产现货价格的终值，即

$$F = Se^{\text{rT}}$$

其中S为初始价格，r为合约期限内的无风险利率，T为合约的期限（以年为单位），F为远期价格。

证明：

• 反证法：假设 $F > Se^{\text{rT}}$ ，即交割价格大于现货价格的终值。在这种情况下，套利者可以按无风险利率r借入S现金，期限为T。然后用S购买一单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合约，交割价格为F。在T时刻，该套利者就可实现 $F - Se^{\text{rT}}$ 的无风险利润。反之亦然，故远期价格等于其标的资产现货价格的终值。

• 复制的思想：构造如下组合：

  • 组合A：持有一单位基础资产 $S$
  • 组合B：持有远期合约的多方，及债券多头，债券金额为交割价格的现值 $f+Fe^{rT}$

  由复制可得，任意时刻，则两者资产价值必相等。

对于商品的远期合约、期货合约，需要考虑运输成本。

已知现金收益资产远期的定价

若考虑现金收益，则支付已知现金收益资产的现货-远期平价公式：

$$F = (S - D)e^{r(T-t)}$$

其中D为现金收益的现值。

已知红利率资产远期的定价

若考虑红利率，则支付已知收益率资产的远期价格：

$$F = Se^{(r - q)(T-t)}$$

其中q为该资产按连续复利计算的红利收益率。

远期合约的定价

假设 $K$ 为之前成交的合约交割价格，合约的交割日期为即日起至 $T$ 年后，无风险利率为 $r$ ，目前远期价格为 $F_0$ ，远期合约今日价值为 $f$ 。当今天为合约最初成交日，则满足 $K=F_0$ ，此时 $f=0$ 。随着时间推移，$K$ 被合约确定保持不变，$F_0$ 有变化，则对于远期合约的 Long 方：

$$f=(F_0-K)e^{-rT}$$

联系上文，可以得到，对于无中间收入资产的远期合约长头寸：

$$f=(F_0-K)e^{-rT} \overset{F_0=S_0 e^{rT}}{=} S_0-K e^{-rT}$$

同理可得已知现金收益资产、已知红利率资产的远期合约定价。

期货 Future

期货：期货合约是在交易所交易的标准化合约，它约定合约持有人在未来某一时刻按照一定的价格买进或者卖出一定数量的特定商品或金融工具的权利与义务。其中：

• 合约的买方称为多方，卖方称为空方。

期货合约的基本要素包括标的资产、合约大小与到期时间。

期货合约买卖的资产称为期货的标的资产。根据标的资产的类型，期货可以分为两大类，即商品期货与金融期货。

• 商品期货：农产品、能源、金属等；
• 金融期货：利率期货、外汇期货、股指期货。

期货类产品定价

股指期货定价

对于股指期货，则支付已知现金收益资产的现货-远期平价公式：

$$F = Se^{(r - q)(T - t)}$$

其中q为股票的股息率 / 红利收益率。

货币远期和期货定价

对于货币的远期和期货合约：

$$F = Se^{(r - r_f)T}$$

其中S是以美元表示的一单位外汇的即期价格。

Eg: 假定澳元和美元的3个月期的无风险利率分别为8%和12%，且澳元美元即期汇率为1.0376，则三个月期货的价格为1.04803

商品期货存在储存成本及便利收益

一般来说，交割商品类型的资产会涉及到储存费用，也可能会带来便利收益。便利收益反映了市场对将来购买该商品可能性的期望，商品短缺的可能性越大，便利收益就越多。包括储存成本率u，资产的连续便利收益率q，无风险连续复利利率为r，

$$F_{0} = S_{0}e^{(r + u - q)T}$$

便利收益反映市场对将来购买该商品可能性的期望。商品短缺的可能性越大，便利收益就越多。

但对于消费类资产的商品期货，当个人及公司持有商品的目的是为了其消费价值而不是投资价值时，其不愿意主动地出售商品并买入商品期货合约，因为期货合约并不能实际上用于消费。公式变为如下：

$$F_{0} \leq S_{0}e^{(r + u - q)T}$$

放松假设的期货定价

现实生活中，市场的不完善导致期货定价模型假设很难成立。

假定现货交易产生交易费用，期货交易不产生交易费，交易费是资产价格的某个固定百分比L，且没有储存费用和便利收益。则理论上，期货的无套利价格区间为

$$F_{0} \in \lbrack S_{0}(\mathrm{1 - L})e^{\mathrm{\text{rT}}}\mathrm{,}\mathrm{S}_{0}(1 + L)e^{\mathrm{\text{rT}}}\rbrack$$

远期和期货价格相等吗？

当无风险利率对所有期限均为常数时，具有某一期限的合约远期价格 = 具有同一期限的合约期货价格，结论可推广为利率为时间的已知函数情形。对于大多数情况而言，可合理假定远期价格等于期货价格，而欧洲美元期货、欧洲美元远期为例外。

当利率变化无法预测时，现实世界上而言，考虑标的资产价格 $S$ 与利率高度相关的情形。由于期货每日结算，当 $S$ 与利率有正相关性时，期货价格会稍微高于远期价格，否则相反。

建议阅读书目：

《Options, Futures and Other Derivatives》

• Chapter 2 Mechanics of Futures Markets
• Chapter 3 Hedging Strategies Using Futures
• Chapter 5 Determination of Forward and Futures Prices
• Chapter 6 Interest Rate Futures 利率期货部分

FRM《3 Financial Markets and Products》

• Chapter 7 Futures Markets
• Chapter 8 Using Futures for Hedging
• Chapter 10 Pricing Financial Forwards and Futures
• Chapter 11 Commodity Forwards and Futures
• Chapter 19 Interest Rate Futures

套期保值：对冲 Hedging

套期保值（简称套期），指企业为规避外汇风险、利率风险、商品价格风险、股票价格风险、信用风险等，指定一项或一项以上套期工具，使套期工具的公允价值或现金流量变动，预期抵销被套期项目全部或部分公允价值或现金流量变动。

在一定期限内，使用金融产品保证资产组合价值实现管理需要的目标。

套期保值的真正作用是帮助企业转移风险，企业通过金融产品如期货市场、期权、外汇市场的盈利来弥补现货市场亏损，或者用现货市场盈利弥补期货市场持仓亏损，使企业经营不受原材料和产品价格波动影响。

股指期货的价格是以股票指数的“点”来表示。世界上所有的股票指数都是以点数表示的，而股票指数的点数也是该指数的期货合约的价格。例如，香港恒生指数2007年3月份为18900点，这18900点也是3月份的股票指数合约的价格。以指数点乘以一个确定的金额数值就是合约的金额。

期权 Option

期权：期权合约是具有未来选择权的一种衍生品, 它赋予期权的持有者（购买者或多头）拥有在将来某一时间，以某一确定的价格购买或者出售一项资产（标的资产）的权利，而并没有这样的义务。其特点是赋予其持有者有做某件事情的权利，持有者不一定必须行使该权利，但投资者购买一张期权合约必须支付期权费。期权产品在交易所市场与 OTC 市场中均有买卖。其中：

• 按期权买者执行期权的时限划分，期权可分为欧式期权（到期才执行）和美式期权（到期及到期前可执行）。
• 按期权买者的权利划分，期权可分为看涨期权和看跌期权。
  • 看涨期权：
    • 看涨期权是指在协议规定的有效期内，协议持有人按规定的价格和数量购进股票的权利。
    • 期权购买者购进这种买进期权，是因为他对股票价格看涨，将来可获利。
    • 购进期权后，当股票市价高于协议价格加期权费用之和时(未含佣金)，期权购买者可按协议规定的价格和数量购买股票，然后按市价出售，或转让买进期权，获取利润；当股票市价在协议价格加期权费用之和之间波动时，期权购买者将受一定损失；当股票市价低于协议价格时，期权购买者的期权费用将全部消失，并将放弃买进期权。
  • 看跌期权：与之相反
• 奇异期权：障碍期权、回望期权、亚式期权、百慕大期权……
• 实物期权：期权定价技术在公司财务上的应用，特别对于公司的资本预算和投资决策。是做出新决策或修正前期决策的期权。

建议阅读书目：

《Options, Futures and Other Derivatives》

• Chapter 9 Mechanics of Options Markets
• Chapter 10 Properties of Stock Options
• Chapter 11 Trading Strategies Involving Options
• Chapter 14 Employee Stock Options 雇员股票期权当前比较盛行，尤其是在大公司里
• Chapter 15 Options on Stock Indices and Currencies
• Chapter 16 Futures Options
• Chapter 25 Exotic Options
• Chapter 34 Real Options

FRM《3 Financial Markets and Products》

• Chapter 12 Options Markets
• Chapter 13 Properties of Options
• Chapter 14 Trading Strategies
• Chapter 15 Exotic Options

《Mathematical Models of Financial Derivatives》

• Chapter 4 Path Dependent Options
• Chapter 5 American Options

互换 Swap

建议阅读书目：

《Options, Futures and Other Derivatives》

• Chapter 7 Swaps
• Chapter 32 Swaps Revisited

《数量金融》（Paul Wilmott）

• Chapter 14 互换

FRM《3 Financial Markets and Products》

• Chapter 20 Swaps

我国著名的金融衍生产品

• 上海证券交易所
  • 上证50ETF期权：http://www.sse.com.cn/assortment/options/contract/c/c_20151016_3999892.shtml
  • 沪深300ETF期权：http://www.sse.com.cn/assortment/options/contract/c/c_20191213_4964834.shtml
• 郑州商品交易所
  • 白糖期权：http://www.czce.com.cn/cn/sspz/bt/bzhy/qqhy/webinfo/2017/03/1488807187261701.htm
• 大连商品交易所
  • 豆粕期货期权：http://www.dce.com.cn/dalianshangpin/sspz/dpqq/hyygz76/6216504/index.html
• 香港交易所
  • 美元兑人民币(香港)期权：https://sc.hkex.com.hk/TuniS/www.hkex.com.hk/Products/Listed-Derivatives/Foreign-Exchange/USD-CNH-Options?sc_lang=zh-CN#&product=CUS
• 中国金融期货交易所
  • 沪深300股指期权：http://www.cffex.com.cn/hs300gzqq/
  • 2年期国债期货：http://www.cffex.com.cn/2ts/
• 上海期货交易所
  • 阴极铜期货期权：http://www.shfe.com.cn/products/cuQ/standard/911337561.html

金融衍生品事件

• 原油宝穿仓事件：衍生品交易的市场风险

  • 原油宝产品简介：https://web.archive.org/web/20190801063849/http://www.boc.cn:80/pbservice/pb3/201712/t20171218_10998217.html

  • https://zh.wikipedia.org/wiki/2020%E5%B9%B4%E4%BF%84%E7%BD%97%E6%96%AF%EF%BC%8D%E6%B2%99%E7%89%B9%E9%98%BF%E6%8B%89%E4%BC%AF%E7%9F%B3%E6%B2%B9%E4%BB%B7%E6%A0%BC%E6%88%98#%E4%B8%AD%E8%A1%8C%E5%8E%9F%E6%B2%B9%E5%AE%9D%E4%BA%8B%E4%BB%B6

• 巴林银行倒闭事件

• 2008年金融风暴、次贷危机

  《Options, Futures and Other Derivatives》

  • Chapter 8 Securitization and the credit crisis of 2007
  • Chapter 35 Derivatives Mishaps and What We can Learn from Them

  FRM《1 Foundations of Risk Managements》

  • Chapter 9 Learning from Financial Disasters
  • Chapter 10 Anatomy of the Great Financial Crisis of 2007-2009